Eukledes'in Öğeler'inden Önermeler
Aziz Yardımlı

AB verili doğru çizgi olsun.

Böylece AB doğru çizgisi üzerinde bir eşkenar üçgen çizilmesi istenir.

A özeği ve AB uzaklığı ile BCD dairesini çizelim [Kont. 3];
yine, B özeği ve BA uzaklığı ile ACE dairesini çizelim [Kont. 3];
ve çemberlerin kesiştikleri C noktasından A, B noktalarına CA, CB doğru çizgileri birleştirilsin [Kont. 3].

Şimdi, A noktası CDB çemberinin özeği olduğu için,
AC AB ye eşittir. [Tan. 15].

Yine, B noktası CAE dairesinin özeği olduğu için,
BC BA ya eşittir. [Tan. 15].

Ama CA da AB ye eşit olarak tanıtlanmıştı;
öyleyse CA, CB doğru çizgilerinden her biri AB ye eşittir.

Ve aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler;
öyleyse CA da CB ye eşittir. [O.K.1]

Öyleyse AC, AB, BC doğru çizgileri birbirlerine eşittir.

Öyleyse ABC eşkenardır; ve verili AB doğru çizgisi üzerinde çizilmiştir — yapılması gerektiği gibi.

A verili nokta, ve BC verili doğru çizgi olsun.

Böylece (bir uç olarak) A noktasına verili BC doğru çizgisine eşit bir doğru çizgi yerleştirmek istenir.

A noktasından B noktasına AB doğru çizgisi birleştirilsin; [Kon. 1]
ve üzerinde DAB eşkenar üçgeni çizilsin. [I. 1]

AE, BF doğru çizgileri DA, DB ile doğru çizgide uzatılsın; [Kon. 2]
B özeği ve BC uzaklığı ile CGH dairesi çizilsin; [Kon. 3]
ve yine, D özeği ve DG uzaklığı ile CKL dairesi çizilsin; [Kon 3]

O zaman, B noktası CGH dairesinin özeği olduğu için,
BC BG ye eşittir.

Yine, D noktası GKL dairesinin özeği olduğu için,
DL DG ye eşittir.

Ve bunlarda DA DB ye eşittir;
öyleyse kalan AL kalan BG ye eşittir. [O.K. 3]

Ama BC nin de BG ye eşit olduğu tanıtlamnıştı;
öyleyse AL, BC doğru çizgilerinin her biri BG ye eşittir.

Ve aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittir; [O.K.1]
öyleyse AL de BC ye eşittir.

Öyleyse verili A noktasında AL doğru çizgisi verili BC doğru çizgisine eşit olarak yerleştirilmiştir. Yapılması istendiği gibi

AB, C verili iki eşitsiz çizgi olsun, ve bunlardan büyük olanı AB olsun.
Böylece büyük olan AB den küçük olan C ye eşit bir doğru çizginin kesilip çıkarılması istenir.

A noktasında AD C doğru çizgisine eşit olarak yerleştirilsin; [I. 2]
ve A özeği ve AD uzaklığı ile DEF dairesi çizilsin. [Kon. 3]

Şimdi, A noktası DEF dairesinin özeği olduğu için,
AE AD ye eşittir. [Tan. 15]

Ama C de AD ye eşittir.

Öyleyse AE, C doğru çizgilerinden her biri AD ye eşittir; öyle ki AE de C ye eşittir. [O.K. 1]

Öyleyse AB, C doğru çizgileri verildiğinde, büyük olan AB den küçük olan C ye eşit AE kesilmiştir. Yapılması gerektiği gibi.

ABC BAC açısı dik olmak üzere bir dikaçılı üçgen olsun;
diyorum ki BC üzerindeki kare BA ve AC üzerindeki karelere eşittir.

Çünkü BC üzerinde BDEC karesi, BA, AC üzerinde GB, HC kareleri çizilsin; [I. 46]

A dan ya BD ye ya da CE ye koşut AL çizilsin, ve AD, FC birleştirilsin.

Sonra, BAC, BAG açılarından her biri dik olduğu için, bundan şu çıkar ki bir BA doğru çizgisi ile, ve üzerindeki A noktasında, aynı kenar üzerinde olmayan AC, AG gibi iki doğru çizgi bitişik açıları iki dik açıya eşit yapar;
öyleyse CA AG ile birlikte bir doğru çizgidedir. [I. 14]

Aynı nedenle
BA da AH ile bir doğru çizgidedir.

Ve, DBC açısı FBA açısına eşit olduğu için: çünkü her biri diktir:
her birine ABC açısı eklensin;

öyleyse bütün DBA açısı bütün FBC açısına eşittir. [O.K. 2]

Ve, DB BC ye, ve FB BA ya eşit olduğu için,
AB, BD kenarları sırasıyla FB, BC kenarlarına eşittir;
ve ABD açısı FBC açısına eşittir;
öyleyse AD tabanı FC tabanına eşittir,
ve ABD üçgeni FBC üçgenine eşittir. [I. 4]

Şimdi BL koşutkenarı ABD üçgenin iki katıdır, çünkü aynı BD tabanını alırlar ve aynı BD, AL koşutlarındadırlar. [I. 41]

Ve GB karesi FBC üçgeninin iki katıdır,
çünkü yine aynı FB tabanını alırlar ve aynı FB, GC koşutlarındadırlar. [I. 41]

[Ama çiftlerin eşitleri birbirine eşittir.]

Öyleyse BL koşutkenarı GB karesine de eşittir.

Benzer olarak, eğer AE, BK birleştirilirse,
CL koşutkenarının da HC karesine eşit olduğu tanıtlanabilir;
öyleyse bütün BDEC karesi GB, HC karelerine eşittir. [O.K.2]

Ve BDEC karesi BC üzerinde çizilir,
ve GB, HC kareleri BA, AC üzerinde.

Öyleyse BC kenarı üzerindeki kare BA, AC kenarları üzerindeki karelere eşittir.

Öyleyse vb.

Q.E.D.